AR1

Time Series analysis: AR(1) process

• Time Series analysis: AR(1) process
  • 自回归过程
  • 一阶自回归过程AR(1)
  • 模拟过程

自回归过程

考虑是由决定，即。假设

$$x_t = \rho x_{t-1} + \epsilon_t$$

其中，随机干扰项。
序列的稳定性由决定，波动程度由决定。


一般地，考虑序列值可由前p个时刻的序列值表示，即

$$X_t = \rho_1 X_{t-1} + \rho_2 X_{t-2} + \rho_k X_{t-k} + \epsilon_t$$

其中，；是一个p阶自回归模型AR(P)， 是自回归系数。

一阶自回归过程AR(1)

一阶自回归表达式：

$$X_t = \rho X_{t-1} + \epsilon_t (1)$$

其中，。
求方差得：

$$\gamma_0 = \rho^2\gamma_0 + \sigma_e^2$$ $$\gamma_0 = \dfrac{\sigma_e^2}{1-\rho^2}$$

根据上得出：即。
对(1)两边同时乘以，并求期望得：

$$E(X_{t-k}X_t) = \rho E(X_{t-k}X_{t-1}) + E(\epsilon_t X_{t-k})$$

即：

$$\gamma_k = \rho \gamma_{k-1} + E(\epsilon_t X_{t-k})$$

根据独立于，且均值为0，所以，即：

$$\gamma_k = \rho \gamma_{k-1}, k = 1, 2, 3, ...$$

将k带入求得：

$$\gamma_1 = \rho \gamma_0 = \rho \dfrac{\sigma_e^2}{1-\rho^2}$$ $$\gamma_2 = \rho \gamma_1 = \rho^2 \dfrac{\sigma_e^2}{1-\rho^2}$$ $$...$$ $$\gamma_k = \rho \gamma_{k-1} = \rho^{k} \dfrac{\sigma_e^2}{1-\rho^2}$$

即：

$$\rho^k = \dfrac{\gamma_k}{\gamma_0}$$

自相关系数只与间隔(k)有关，因此是平稳(stationary)的。

模拟过程

对于不同，模拟过程并绘制自相关图(序列 自相关函数)：

代码：

set.seed(123)

simulate_AR1 <- function(rho, sigma = 1, T = 100) {
  y <- numeric(T)
  y[1] <- rnorm(1, 0, sigma / sqrt(1 - rho^2))  # stationarity
  for (t in 2:T) {
    y[t] <- rho * y[t-1] + rnorm(1, 0, sigma)
  }
  return(y)
}

rhos <- c(0, 0.3, 0.7, 0.95)
par(mfrow = c(4, 2), mar = c(4, 4, 2, 1), cex.main = 1.5)

for (rho in rhos) {
  y <- simulate_AR1(rho)
  
  # 时间序列图
  plot(y, type = "l", main = paste("AR(1) with rho =", rho),
       ylab = "y", xlab = "Time")
  
  # 自相关图
  acf(y, main = paste("ACF: rho =", rho))
}

根据上图，自相关系数越小，ACF衰减越快，相反，ACF衰减越慢。